Бра кет: Бра и кет — Wikiwand

Бра-кет нотация и обычная линейная алгебра. : Вопросы преподавания

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

 

Pulseofmalstrem 

 Бра-кет нотация и обычная линейная алгебра.

31.12.2017, 14:30 

16/12/14
470

Добрый день.
Почему бы не преподавать линейную алгебру с помощью бракет нотации, ведь она адекватно передает смысл линейных операций и не может вызвать сложность у студентов на 1 курсе, зато потом не надо будет тратить на это время в курсе квантовой механики.


   

                
 

Pphantom 

 Re: Бра-кет нотация и обычная линейная алгебра.

31.12.2017, 14:47 

Заслуженный участник

09/05/12
25190
Кронштадт

Потому что даже на очень склонном к теории физфаке не менее 90% студентов в дальнейшем будут заниматься другими областями, где эта нотация не принята.


   

                
 

pogulyat_vyshel 

 Re: Бра-кет нотация и обычная линейная алгебра.

31.12.2017, 16:23 

31/08/17
2116

Pulseofmalstrem в сообщении #1280360 писал(а):

Добрый день.
Почему бы не преподавать линейную алгебру с помощью бракет нотации, ведь она адекватно передает смысл линейных операций и не может вызвать сложность у студентов на 1 курсе, зато потом не надо будет тратить на это время в курсе квантовой механики.

встречный вопрос: а почему бы физикам не перейти на обозначения, принятые в нормальном функане


   

                
 

arseniiv 

 Re: Бра-кет нотация и обычная линейная алгебра.

31.12.2017, 20:27 

Заслуженный участник

27/04/09
28128

Pulseofmalstrem в сообщении #1280360 писал(а):

Почему бы не преподавать линейную алгебру с помощью бракет нотации, ведь она адекватно передает смысл линейных операций

Она не настолько универсальна, как хотелось бы. Это ведь просто явная маркировка векторов и ковекторов (что можно делать и так выбором алфавита и шрифта, а превращения туда-сюда — диезом/бемолем) с некоторыми дополнительными соглашениями. С бо́льшим успехом можно преподавать абстрактную индексную запись (даже спинорную).


   

                
 

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
  Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения


Найти:

Помогите решить / разобраться (Ф)

Nemiroff в сообщении #529364 писал(а):

И если мы тогда напишем , это будет означать, что вероятность того, что после измерения поляризация направлена по — (не только это, но и это тоже) — ну просто потому что можно посчитать разложение двумерного вектора по базису?
Я правильно понимаю?

Да, именно поэтому.

По сути, чтобы найти разложение по базису, берут вектор, и составляют его скалярные произведения с векторами базиса (благо пространство у нас гильбертово, то есть оснащённое скалярным произведением): — и для нахождения вероятности ещё возводят модуль в квадрат. То есть, посчитать эти вы можете и сами, чисто формальными телодвижениями.

Nemiroff в сообщении #529364 писал(а):

И вот не понял еще: если написано , это «длинный» вектор? Или это два разный вектора, просто пишут рядом? Или как-то иначе?

Это один вектор. Всё, что в нём написано внутри — это какое-то описание состояния, соответствующего этому вектору. Правила для этого описания нефиксированы, то есть по сути можно написать что угодно, лишь бы было понятно (хотя бы из окружающего текста). Например, 🙂

Что это значит в конкретном месте в Википедии? Поскольку у нас два фотона, то одно состояние двухчастичной системы должно задавать и состояние одного фотона, и состояние другого. То есть это надо читать как

то есть первый фотон поляризован по и второй — тоже по Наглядно это можно представить как матрицу, строки которой отвечают состояниям поляризации первого фотона, а столбцы — второго:

(помните, что на самом деле это не матрица, а вектор, нам просто удобнее расположить его компоненты квадратиком; например, норма этого вектора будет вычисляться возведением в квадрат всех четырёх чисел). Соответственно, зацепленное состояние, передаваемое формулой можно представить как

Мне такие представления в виде матриц кажутся нагляднее, особенно для черновых записей, но это мои личные предпочтения. Для более универсальной воспринимаемости для любого читателя, стоит писать бра-кет формулу.

— 20.01.2012 19:53:25 —

Nemiroff в сообщении #529364 писал(а):

Причем сумма хитрая, она ведь может быть по несчетному количеству слагаемых? Ну там вот вы интеграл еще написали.

Да, по сути значок суммы тут — в некотором «обобщённом смысле», подразумевает когда надо — суммирование, когда надо — интегрирование, когда надо — и то и другое. Всё это на самом деле аккуратно и детально излагается в соответствующей математической теории — функциональном анализе

(может быть, без этого конкретного значка суммы, придуманного мной на месте), но в физике, чтобы освоить КМ, многие детали не нужны, достаточно знания того, что «математика их как-то оправдывает». Например, само по себе существование такой суммы, вообще-то, должно быть под вопросом, но мы от этого избавились, оговорив, что наше пространство — гильбертово (под чем в функциональном анализе подразумевается куча подробностей). Разумеется, если начать заниматься чуть более сложными вещами, как придётся разбираться в математике серьёзней (например, обнаружить, что дельта-функция — это вообще не функция). Но для начала и этого хватит.


Как работает обозначение бюстгальтера?

Это приводит меня к заключению, что есть некоторая разница/причина, по которой скобка особенно удобна для обозначения квантовых алгоритмов.

Уже есть принятый ответ и ответ, который объясняет «кет», «бюстгальтер» и нотацию скалярного произведения.

Я попробую добавить немного больше к выделенной записи. Что делает его полезным/удобным обозначением?

Первое, для чего действительно часто используется нотация скобок, — это очень простое обозначение собственных векторов (обычно эрмитова) оператора, связанного с собственным значением. Предположим, у нас есть уравнение на собственные значения $A(v)=\lambda v$, его можно обозначить как $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ и, возможно, некоторое дополнительная метка $k$, если имеется некоторое вырождение $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$.

Вы видите, что это используется во всей квантовой механике, собственные состояния импульса обычно обозначаются как $\left|\vec{k}\right\rangle$ или $\left|\vec{p}\right\rangle$ в зависимости от единиц измерения. , или с несколькими состояниями частиц $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$; представление числа заполнения для бозе- и ферми-систем многих систем тел $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$; получастица со спином, принимающая собственные состояния обычно оператора $S_z$, иногда записывается как $\left|+\right\rangle$ и $\left|-\right\rangle$ или $\left|\uparrow\,\right \rangle$ и $\left|\downarrow\,\right\rangle$ и т. 2$ и $L_z$ удобно записывать в виде $\left|l,m\right\rangle$ с $l=0,1,2,\ldots$ и $m=- l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Таким образом, удобство записи — это одно, но есть и своего рода ощущение «лего» при алгебраических манипуляциях с записью Дирака, например, оператор спина $S_x$ в записи Дирака выглядит как
$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\стрелка вверх\вправо\rangle\влево\langle\стрелка вниз\вправо|+\влево|\стрелка вниз\вправо\rangle\left\langle\стрелка вверх\вправо| )$, действуя на состояние вида $\left|\uparrow\right\rangle$, просто выполняется

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\ влево |\стрелка вверх\rangle\langle\стрелка вниз\вправо|+\влево|\стрелка вниз\rangle\langle\стрелка вверх\вправо|\вправо)\влево|\стрелка вверх\вправо\rangle=\frac{\hbar}{2} \left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac {\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$ $

, так как $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ и $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$. {\otimes n}$. Нотация Дирака может быть здесь довольно удобной, базисные состояния будут помечены строками из единиц и нулей, а единица обычно обозначает состояние, например. $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ , и скажем, у нас есть оператор переворота битов $X_i$, который меняет местами $1\leftrightarrow 0$ на $i$-м бите, это может довольно просто действовать на приведенные выше строки, например. $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$, и взятие суммы операторов или действие над суперпозицией состояний работает так же просто.

Небольшое предостережение: состояние, записанное как $\left|a,b\right\rangle$, не всегда означает $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$, для например, когда у вас есть два идентичных фермиона с волновыми функциями, скажем, $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ и $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$, с метками, индексирующими некоторый базисный набор, тогда можно было бы записать состояние детерминанта Слейтера фермионов $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{ r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ в сокращении как $\left|\phi_{k_1}, \phi_{k_2}\right\rangle$ или даже $\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$.

Бракет и тензорная нотация — Введение в разработку квантового программного обеспечения

Цель

Познакомьтесь с некоторыми математическими обозначениями, которые возникают в квантовой информатике.

Кет (Дирак) Обозначение

В квантовых вычислениях мы будем обращаться к векторам-столбцам со специальной нотацией, которая значительно упрощает отслеживание вещей.
Я подробно остановлюсь на том, как эта нотация работает, когда мы перейдем к реальному классу, но пока вот основы.

Вектор-столбец записывается как ket , у которого слева прямая линия, а справа угловая скобка:

\[
\ket{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}
\]

Говоря о векторе \(\ket{x}\), мы обычно называем каждый отдельный элемент \(x_i\), где \(i\) представляет собой индекс элемента.
\(i\) может быть с нулевым индексом или с одним индексом, но вы должны указать, какой именно.
Например, вот как мы запишем общую форму вектора с нулевым индексом длины \(n\):

\[
\ket{x} = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ . .. \\ x_{n-1} \end{bmatrix}
\]

Это похоже на то, как мы перебираем каждый элемент массива с помощью цикла for, поэтому вы должны чувствовать себя как дома с этой нотацией.

Тензорный продукт

Векторы

Квантовая механика использует особый вид векторного умножения, который вы увидите повсеместно.
Это называется тензорным произведением .
Обозначается кружком с X посередине: \(\otimes\).
Когда вы тензорируете два вектора вместе, вы берете весь правый вектор и умножаете его на каждый из элементов левого вектора.
Затем все эти умноженные векторы становятся элементами нового выходного вектора.
Проще всего это увидеть на примере:

\[
\displaylines{
\ket{x} \otimes \ket{y} = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \cdot \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} \\ x_1 \cdot \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \cdot y_0 \\ x_0 \cdot y_1 \\ x_1 \cdot y_0 \\ x_1 \cdot y_1 \end{bmatrix} \\~\\
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \\ 2 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \end{ bматрица} =
\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix}
}
\]

Обратите внимание, что размер нового вектора не совпадает с исходным: длина первого вектора умножается на длину второго.
Также обратите внимание, что два исходных вектора не обязательно должны быть одинаковой длины, как в других операциях.

При наличии нескольких тензорных произведений порядок операций не имеет значения, если вы следуете приведенному выше шаблону.
Например, если бы у нас было 3 кета, тензорированных вместе, мы могли бы оценить либо первую пару, либо вторую пару — конечный результат будет таким же, как это чудовище:

\[
\displaylines{
\ket{x} \otimes \ket{y} \otimes \ket{z} = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \cdot \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1 \end{bmatrix} \\ y_1 \cdot \begin{bmatrix} z_0 \ \ z_1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \cdot z_0 \\ y_0 \cdot z_1 \\ y_1 \cdot z_0 \\ y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix}
\\~\\
= \begin{bmatrix} x_0 \cdot \begin{bmatrix} y_0 \cdot z_0 \\ y_0 \cdot z_1 \\ y_1 \cdot z_0 \\ y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix} \\ x_1 \cdot \begin{bmatrix } y_0 \cdot z_0 \\ y_0 \cdot z_1 \\ y_1 \cdot z_0 \\ y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 \\ x_0 \cdot y_0 \cdot z_1 \\ x_0 \cdot y_1 \cdot z_0 \\ x_0 \cdot y_1 \cdot z_1 \\ x_1 \cdot y_0 \cdot z_0 \ \ x_1 \cdot y_0 \cdot z_1 \\ x_1 \cdot y_1 \cdot z_0 \\ x_1 \cdot y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix}
}
\]

Как вы понимаете, очень быстро это становится невозможно отслеживать.
К счастью, кет-нотация специально создана для работы с тензорами.
Существует четыре эквивалентных способа записи этого тензорного произведения:

\[
\ket{x} \otimes \ket{y} \otimes \ket{z} = \ket{x}\ket{y}\ket{z} = \ket{x,y,z} = \ket{xyz }
\]

Последняя форма (со всеми переменными, содержащимися в ket) является наиболее распространенной и, безусловно, наиболее удобной.
Иногда вы также увидите третью форму с запятыми — это очень удобно, когда элементы сами по себе составные, но вы хотите их семантически разделить.
Например:

\[
\displaylines{
\кет{а} = \кет{xyz}
\\~\\
\кет{б} = \кет{увв}
\\~\\
\ket{a} \otimes \ket{b} = \ket{xyz,uvw}
}
\]

Форма с запятой позволяет представить тот факт, что вы хотите, чтобы термины были разделены (возможно, потому, что в вашей программе они представляют разные массивы, даже если тензор создаст новый массив, представляющий собой комбинацию их всех).
Какую бы форму вы ни выбрали, все они означают одно и то же.

Матрицы

Как и векторы, матрицы также могут использовать тензорное произведение.
Правила тензорирования матриц такие же, как и тензорирования векторов: взять всю правую матрицу и умножить ее на каждый элемент левой матрицы.
Результатом будет новая матрица с шириной, равной ширине левой матрицы, умноженной на ширину правой, и высоте, равной высоте левой, умноженной на высоту правой:

\[
\displaylines{
A \otimes B = \begin{bmatrix} A_{00} & A_{01} \\ A_{10} & A_{11} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01 } \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} A_{00} \cdot \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} & A_{01} \cdot \begin {bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} \\ A_{10} \cdot \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} & A_{11} \cdot \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end {bmatrix} \end{bmatrix}
\\~\\
= \begin{bmatrix}
A_{00} \cdot B_{00} & A_{00} \cdot B_{01} & A_{01} \cdot B_{00} & A_{01} \cdot B_{01} \\
A_{00} \cdot B_{10} & A_{00} \cdot B_{11} & A_{01} \cdot B_{10} & A_{01} \cdot B_{11} \\
A_{10} \cdot B_{00} & A_{10} \cdot B_{01} & A_{11} \cdot B_{00} & A_{11} \cdot B_{01} \\
A_{10} \cdot B_{10} и A_{10} \cdot B_{11} и A_{11} \cdot B_{10} и A_{11} \cdot B_{11}
\end{bmatrix}
}
\]

Матричные тензоры могут очень быстро стать очень сложными, поэтому мы обычно просто представляем их, комбинируя имена их компонентов, как мы делаем это с векторами:

\[
A \otimes B \otimes C = ABC
\]

Дополнительные материалы

  • Страница Math is Fun на нотации Bra-Ket

    • На этой странице представлен предварительный обзор некоторых концепций квантовой механики.