Содержание
Бра-кет нотация и обычная линейная алгебра. : Вопросы преподавания
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Pulseofmalstrem |
| ||
16/12/14 |
| ||
| |||
Pphantom |
| |||
09/05/12 |
| |||
| ||||
pogulyat_vyshel |
| ||
31/08/17 |
| ||
| |||
arseniiv |
| |||
27/04/09 |
| |||
| ||||
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 4 ] |
Модераторы: Модераторы, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Найти: |
Nemiroff в сообщении #529364 писал(а): И если мы тогда напишем , это будет означать, что вероятность того, что после измерения поляризация направлена по — (не только это, но и это тоже) — ну просто потому что можно посчитать разложение двумерного вектора по базису? Да, именно поэтому. По сути, чтобы найти разложение по базису, берут вектор, и составляют его скалярные произведения с векторами базиса (благо пространство у нас гильбертово, то есть оснащённое скалярным произведением): — и для нахождения вероятности ещё возводят модуль в квадрат. То есть, посчитать эти вы можете и сами, чисто формальными телодвижениями. Nemiroff в сообщении #529364 писал(а): И вот не понял еще: если написано , это «длинный» вектор? Или это два разный вектора, просто пишут рядом? Или как-то иначе? Это один вектор. Всё, что в нём написано внутри — это какое-то описание состояния, соответствующего этому вектору. Правила для этого описания нефиксированы, то есть по сути можно написать что угодно, лишь бы было понятно (хотя бы из окружающего текста). Например, 🙂 Что это значит в конкретном месте в Википедии? Поскольку у нас два фотона, то одно состояние двухчастичной системы должно задавать и состояние одного фотона, и состояние другого. То есть это надо читать как то есть первый фотон поляризован по и второй — тоже по Наглядно это можно представить как матрицу, строки которой отвечают состояниям поляризации первого фотона, а столбцы — второго: (помните, что на самом деле это не матрица, а вектор, нам просто удобнее расположить его компоненты квадратиком; например, норма этого вектора будет вычисляться возведением в квадрат всех четырёх чисел). Соответственно, зацепленное состояние, передаваемое формулой можно представить как Мне такие представления в виде матриц кажутся нагляднее, особенно для черновых записей, но это мои личные предпочтения. Для более универсальной воспринимаемости для любого читателя, стоит писать бра-кет формулу. — 20.01.2012 19:53:25 — Nemiroff в сообщении #529364 писал(а): Причем сумма хитрая, она ведь может быть по несчетному количеству слагаемых? Ну там вот вы интеграл еще написали. Да, по сути значок суммы тут — в некотором «обобщённом смысле», подразумевает когда надо — суммирование, когда надо — интегрирование, когда надо — и то и другое. Всё это на самом деле аккуратно и детально излагается в соответствующей математической теории — функциональном анализе (может быть, без этого конкретного значка суммы, придуманного мной на месте), но в физике, чтобы освоить КМ, многие детали не нужны, достаточно знания того, что «математика их как-то оправдывает». Например, само по себе существование такой суммы, вообще-то, должно быть под вопросом, но мы от этого избавились, оговорив, что наше пространство — гильбертово (под чем в функциональном анализе подразумевается куча подробностей). Разумеется, если начать заниматься чуть более сложными вещами, как придётся разбираться в математике серьёзней (например, обнаружить, что дельта-функция — это вообще не функция). Но для начала и этого хватит. |
Как работает обозначение бюстгальтера?
Это приводит меня к заключению, что есть некоторая разница/причина, по которой скобка особенно удобна для обозначения квантовых алгоритмов.
Уже есть принятый ответ и ответ, который объясняет «кет», «бюстгальтер» и нотацию скалярного произведения.
Я попробую добавить немного больше к выделенной записи. Что делает его полезным/удобным обозначением?
Первое, для чего действительно часто используется нотация скобок, — это очень простое обозначение собственных векторов (обычно эрмитова) оператора, связанного с собственным значением. Предположим, у нас есть уравнение на собственные значения $A(v)=\lambda v$, его можно обозначить как $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ и, возможно, некоторое дополнительная метка $k$, если имеется некоторое вырождение $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$.
Вы видите, что это используется во всей квантовой механике, собственные состояния импульса обычно обозначаются как $\left|\vec{k}\right\rangle$ или $\left|\vec{p}\right\rangle$ в зависимости от единиц измерения. , или с несколькими состояниями частиц $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$; представление числа заполнения для бозе- и ферми-систем многих систем тел $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$; получастица со спином, принимающая собственные состояния обычно оператора $S_z$, иногда записывается как $\left|+\right\rangle$ и $\left|-\right\rangle$ или $\left|\uparrow\,\right \rangle$ и $\left|\downarrow\,\right\rangle$ и т. 2$ и $L_z$ удобно записывать в виде $\left|l,m\right\rangle$ с $l=0,1,2,\ldots$ и $m=- l,-l+1,\ldots,l-1,l.$
Таким образом, удобство записи — это одно, но есть и своего рода ощущение «лего» при алгебраических манипуляциях с записью Дирака, например, оператор спина $S_x$ в записи Дирака выглядит как
$S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\стрелка вверх\вправо\rangle\влево\langle\стрелка вниз\вправо|+\влево|\стрелка вниз\вправо\rangle\left\langle\стрелка вверх\вправо| )$, действуя на состояние вида $\left|\uparrow\right\rangle$, просто выполняется
$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\ влево |\стрелка вверх\rangle\langle\стрелка вниз\вправо|+\влево|\стрелка вниз\rangle\langle\стрелка вверх\вправо|\вправо)\влево|\стрелка вверх\вправо\rangle=\frac{\hbar}{2} \left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac {\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$ $
, так как $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ и $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$. {\otimes n}$. Нотация Дирака может быть здесь довольно удобной, базисные состояния будут помечены строками из единиц и нулей, а единица обычно обозначает состояние, например. $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ , и скажем, у нас есть оператор переворота битов $X_i$, который меняет местами $1\leftrightarrow 0$ на $i$-м бите, это может довольно просто действовать на приведенные выше строки, например. $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$, и взятие суммы операторов или действие над суперпозицией состояний работает так же просто.
Небольшое предостережение: состояние, записанное как $\left|a,b\right\rangle$, не всегда означает $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$, для например, когда у вас есть два идентичных фермиона с волновыми функциями, скажем, $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ и $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$, с метками, индексирующими некоторый базисный набор, тогда можно было бы записать состояние детерминанта Слейтера фермионов $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{ r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ в сокращении как $\left|\phi_{k_1}, \phi_{k_2}\right\rangle$ или даже $\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$.
Бракет и тензорная нотация — Введение в разработку квантового программного обеспечения
Цель
Познакомьтесь с некоторыми математическими обозначениями, которые возникают в квантовой информатике.
Кет (Дирак) Обозначение
В квантовых вычислениях мы будем обращаться к векторам-столбцам со специальной нотацией, которая значительно упрощает отслеживание вещей.
Я подробно остановлюсь на том, как эта нотация работает, когда мы перейдем к реальному классу, но пока вот основы.
Вектор-столбец записывается как ket , у которого слева прямая линия, а справа угловая скобка:
\[
\ket{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}
\]
Говоря о векторе \(\ket{x}\), мы обычно называем каждый отдельный элемент \(x_i\), где \(i\) представляет собой индекс элемента.
\(i\) может быть с нулевым индексом или с одним индексом, но вы должны указать, какой именно.
Например, вот как мы запишем общую форму вектора с нулевым индексом длины \(n\):
\[
\ket{x} = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ . .. \\ x_{n-1} \end{bmatrix}
\]
Это похоже на то, как мы перебираем каждый элемент массива с помощью цикла for, поэтому вы должны чувствовать себя как дома с этой нотацией.
Тензорный продукт
Векторы
Квантовая механика использует особый вид векторного умножения, который вы увидите повсеместно.
Это называется тензорным произведением .
Обозначается кружком с X посередине: \(\otimes\).
Когда вы тензорируете два вектора вместе, вы берете весь правый вектор и умножаете его на каждый из элементов левого вектора.
Затем все эти умноженные векторы становятся элементами нового выходного вектора.
Проще всего это увидеть на примере:
\[
\displaylines{
\ket{x} \otimes \ket{y} = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \cdot \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} \\ x_1 \cdot \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \cdot y_0 \\ x_0 \cdot y_1 \\ x_1 \cdot y_0 \\ x_1 \cdot y_1 \end{bmatrix} \\~\\
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \\ 2 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \end{ bматрица} =
\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix}
}
\]
Обратите внимание, что размер нового вектора не совпадает с исходным: длина первого вектора умножается на длину второго.
Также обратите внимание, что два исходных вектора не обязательно должны быть одинаковой длины, как в других операциях.
При наличии нескольких тензорных произведений порядок операций не имеет значения, если вы следуете приведенному выше шаблону.
Например, если бы у нас было 3 кета, тензорированных вместе, мы могли бы оценить либо первую пару, либо вторую пару — конечный результат будет таким же, как это чудовище:
\[
\displaylines{
\ket{x} \otimes \ket{y} \otimes \ket{z} = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \cdot \begin{bmatrix} z_0 \\ z_1 \end{bmatrix} \\ y_1 \cdot \begin{bmatrix} z_0 \ \ z_1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} y_0 \cdot z_0 \\ y_0 \cdot z_1 \\ y_1 \cdot z_0 \\ y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix}
\\~\\
= \begin{bmatrix} x_0 \cdot \begin{bmatrix} y_0 \cdot z_0 \\ y_0 \cdot z_1 \\ y_1 \cdot z_0 \\ y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix} \\ x_1 \cdot \begin{bmatrix } y_0 \cdot z_0 \\ y_0 \cdot z_1 \\ y_1 \cdot z_0 \\ y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 \\ x_0 \cdot y_0 \cdot z_1 \\ x_0 \cdot y_1 \cdot z_0 \\ x_0 \cdot y_1 \cdot z_1 \\ x_1 \cdot y_0 \cdot z_0 \ \ x_1 \cdot y_0 \cdot z_1 \\ x_1 \cdot y_1 \cdot z_0 \\ x_1 \cdot y_1 \cdot z_1 \end{bmatrix}
}
\]
Как вы понимаете, очень быстро это становится невозможно отслеживать.
К счастью, кет-нотация специально создана для работы с тензорами.
Существует четыре эквивалентных способа записи этого тензорного произведения:
\[
\ket{x} \otimes \ket{y} \otimes \ket{z} = \ket{x}\ket{y}\ket{z} = \ket{x,y,z} = \ket{xyz }
\]
Последняя форма (со всеми переменными, содержащимися в ket) является наиболее распространенной и, безусловно, наиболее удобной.
Иногда вы также увидите третью форму с запятыми — это очень удобно, когда элементы сами по себе составные, но вы хотите их семантически разделить.
Например:
\[
\displaylines{
\кет{а} = \кет{xyz}
\\~\\
\кет{б} = \кет{увв}
\\~\\
\ket{a} \otimes \ket{b} = \ket{xyz,uvw}
}
\]
Форма с запятой позволяет представить тот факт, что вы хотите, чтобы термины были разделены (возможно, потому, что в вашей программе они представляют разные массивы, даже если тензор создаст новый массив, представляющий собой комбинацию их всех).
Какую бы форму вы ни выбрали, все они означают одно и то же.
Матрицы
Как и векторы, матрицы также могут использовать тензорное произведение.
Правила тензорирования матриц такие же, как и тензорирования векторов: взять всю правую матрицу и умножить ее на каждый элемент левой матрицы.
Результатом будет новая матрица с шириной, равной ширине левой матрицы, умноженной на ширину правой, и высоте, равной высоте левой, умноженной на высоту правой:
\[
\displaylines{
A \otimes B = \begin{bmatrix} A_{00} & A_{01} \\ A_{10} & A_{11} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01 } \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} A_{00} \cdot \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} & A_{01} \cdot \begin {bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} \\ A_{10} \cdot \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end{bmatrix} & A_{11} \cdot \begin{bmatrix} B_{00} & B_{01} \\ B_{10} & B_{11} \end {bmatrix} \end{bmatrix}
\\~\\
= \begin{bmatrix}
A_{00} \cdot B_{00} & A_{00} \cdot B_{01} & A_{01} \cdot B_{00} & A_{01} \cdot B_{01} \\
A_{00} \cdot B_{10} & A_{00} \cdot B_{11} & A_{01} \cdot B_{10} & A_{01} \cdot B_{11} \\
A_{10} \cdot B_{00} & A_{10} \cdot B_{01} & A_{11} \cdot B_{00} & A_{11} \cdot B_{01} \\
A_{10} \cdot B_{10} и A_{10} \cdot B_{11} и A_{11} \cdot B_{10} и A_{11} \cdot B_{11}
\end{bmatrix}
}
\]
Матричные тензоры могут очень быстро стать очень сложными, поэтому мы обычно просто представляем их, комбинируя имена их компонентов, как мы делаем это с векторами:
\[
A \otimes B \otimes C = ABC
\]
Дополнительные материалы
Страница Math is Fun на нотации Bra-Ket
- На этой странице представлен предварительный обзор некоторых концепций квантовой механики.
- На этой странице представлен предварительный обзор некоторых концепций квантовой механики.