Бра и кет

Прошлый пост по этой хуете был откровенно плох, но теперь мы стали лучше и готовы более полно и просто освещать все темы (да пизжу конечно, просто темы кончаются, а тот пост был написан не совсем понятно). Когда человек впревые встречается с бра и кетом (от пендосского «бракет» – скобка), то он вообще нихуя не понимает, особенно, если он знает о квантовой механике лишь то, что Б-г создал небесный купол, Землю и прочую поеботу, которая вращается вокруг Земли. Далее поц понимает, что ско и бка (привет, Ландау, великий транслитёр) описывают квантовые состояния, но в чем их отличие не всегда понятно.

И если с кетом все понятно – он просто описывает квантовое состояние, то с бра понятно ровным счетом нихуя, вот определение из Википедии: «Каждому кет-вектору ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряженного к данному». Иногда там уточняют, то это какое-то метаматематическое Эрмитово сопряжение. И если вы обычный человек, то, скорее всего, не знаете, что такое сопряженное пространство (из нашей команды единственный, кто это знает – Александр Ершов), так что напишем это чуть-чуть по-другому.

Вспомним волновую функцию Шредингера. Если да, то это было не нужно, так как нам нужно знать, чем эта функция задается – координатами (а, буду всю сетку координат обозначать буквой а, потому что хочу) и временем (t) (а также еще квантовыми числами, но нам они сейчас нахуй не всрались). Если мы захотим описать какое-то состояние, то мы запишем это так, как показано на 2 пикче (как я понял, ВК вообще не ест такие скобки). Но если вы думаете, что вписали в бра координатную сетку, то вы глубоко наебали себя, так как это не совсем так.

Разберемся с эрмитовым сопряжением (неебически кратко). Для этого надо знать, что такое линейный функционал. Грубо говоря, это когда мы какому-то вектору ставим в соответствие число на какой-нибудь координатной оси, измеряя проекцию этого вектора. Так у нас получается скалярное пространство, которое является отображением векторного, я нарисовал это на 3 картинке (если вы че-то поняли, то можете идти на 4 курс квант и мат-меха). Итак, эрмитово сопряжение (эрмитов оператор А, и А* для сопряженного) – это такая хуйня, когда мы вот такое сопряжение можем сделать так: берем из сопряженного пространства какое-то число, потом каким-то метаматематическим образом действуем на него эрмитовым оператором, а потом всей этой хуйней еще подействовали на изначальный вектор из первого пространства, то после этого наш ответ будет совпадать с тем, если бы мы сделали то же самое, но эрмитовым оператором А подействовали на вектор из первого пространства, а потом всей этой хуйней подействовали на скаляр из сопряженного пространства (4 картинка, и пояснение к ней – отображение на само себя, это когда каждой точке А ставится симметричная точка А_1). КАРОЧЕ, БРА-ВЕКТОР ТУПО СТАВИТ СОПРЯЖЕННЫЙ СКАЛЯР ДАННОМУ ВЕКТОРУ.

Итак, кет-вектор – это хуетень, которая показывает квантовое состояние в обычном пространстве, а бра-вектор в эрмитово сопряженном. Лично я не совсем понимаю как можно некоторому состоянию фотона (то есть это скаляр) ставить в соответствие вектор, который мы потом отображаем на скалярное пространство (по логике получается один и тот же ответ), так что я не ебу. Если кто-то в этом шарит чутка лучше, то поясните плес.

Спасибо за то, что вы с нами.
С любовью, Рителлинг favorite

Бра и кет

Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства H , {displaystyle {mathcal {H}},} элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом | ψ ⟩ {displaystyle |psi angle } . {*}} определяется соотношением:

⟨ ψ | : H → C : ⟨ ψ | ( | ρ ⟩ ) = ( | ψ ⟩ , | ρ ⟩ ) {displaystyle langle psi |colon {mathcal {H}} o mathbb {C} colon langle psi |left(| ho angle ight)=left(|psi angle ,;| ho angle ight)} , для любого кет-вектора | ρ ⟩ . {displaystyle | ho angle .}

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. {*}} или H . {displaystyle {mathcal {H}}.}

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде ⟨ φ | ψ ⟩ ; {displaystyle langle varphi |psi angle ;} две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: ⟨ ψ | ψ ⟩ ⩾ 0. {displaystyle langle psi |psi angle geqslant 0.} На векторы, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1. {displaystyle langle psi |psi angle =1.}

Линейные операторы

Если A : H → H {displaystyle Acolon H o H} — линейный оператор из H {displaystyle H} в H {displaystyle H} , то действие оператора A {displaystyle A} на кет-вектор | ψ ⟩ {displaystyle |psi angle } записывается как A | ψ ⟩ . {*},} то есть бра-вектор, умноженный на оператор A {displaystyle A} , который определяется равенством:

( ⟨ φ | A ) | ψ ⟩ = ⟨ φ | ( A | ψ ⟩ ) , {displaystyle {igg (}langle varphi |A{igg )};|psi angle =langle varphi |;{igg (}A|psi angle {igg )},} для любого вектора | ψ ⟩ . {displaystyle |psi angle .}

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто ⟨ φ | A | ψ ⟩ . {displaystyle langle varphi |A|psi angle .}

Это выражение называется свёрткой оператора A {displaystyle A} с бра-вектором ⟨ φ | {displaystyle langle varphi |} и кет-вектором | ψ ⟩ . {displaystyle |psi angle .} Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора A {displaystyle A} в определённом базисе (в тензорных обозначениях — A k l {displaystyle A_{kl}} ) записывается в обозначениях Дирака как ⟨ k | A | l ⟩ , {displaystyle langle k|A|l angle ,} а среднее значение наблюдаемой на состоянии ψ {displaystyle psi } — как ⟨ ψ | A | ψ ⟩ . {displaystyle langle psi |A|psi angle .}

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

| ψ ~ ⟩ = A | ψ ⟩ , {displaystyle |{ ilde {psi }} angle =A|psi angle ,} ⟨ φ ~ | = ⟨ φ | A . {displaystyle langle { ilde {varphi }}|=langle varphi |A. }

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ , {displaystyle H|psi angle =E|psi angle ,} где H {displaystyle H} — гамильтониан, а E {displaystyle E} — скаляр (уровень энергии).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения ⟨ φ , ψ ⟩ {displaystyle langle varphi ,;psi angle } в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору i | ψ ⟩ {displaystyle i|psi angle } будет являться бра-вектор − i ⟨ ψ | {displaystyle -ilangle psi |} (где i {displaystyle i} — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния ψ {displaystyle psi } (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как e k , {displaystyle e_{k},} в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: ⟨ k | , | l ⟩ . {n},} то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N × 1 {displaystyle N imes 1} , бра-векторы — размера 1 × N {displaystyle 1 imes N} , операторы — размера N × N {displaystyle N imes N} , где N {displaystyle N} — количество состояний квантовой системы (размерность пространства H {displaystyle {mathcal {H}}} ). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа ⟨ … ⟩ {displaystyle langle ldots angle } всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева ⟨ , {displaystyle langle ,} кет-вектор — скобку справа ⟩ . {displaystyle angle .} Вводится также произведение в «неестественном» порядке — | φ ⟩ ⟨ ψ | {displaystyle |varphi angle langle psi |} (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор | ψ ⟩ ⟨ φ | {displaystyle |psi angle langle varphi |} имеет ранг 1 и является тензорным произведением | ψ ⟩ {displaystyle |psi angle } и ⟨ φ | . {displaystyle langle varphi |.} Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор | ψ ⟩ ⟨ ψ | {displaystyle |psi angle langle psi |} (при нормировке ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 {displaystyle langle psi |psi angle =1} ) является проектором на состояние ψ {displaystyle psi } , точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в H . {displaystyle {mathcal {H}}.}

Имеет место ассоциативность:

⟨ φ | ⋅ A | ψ ⟩   =   ⟨ φ | A | ψ ⟩   =   ⟨ φ | A ⋅ | ψ ⟩ , {displaystyle langle varphi |cdot A|psi angle = langle varphi |A|psi angle = langle varphi |Acdot |psi angle ,} | ψ ⟩ ⋅ ⟨ φ | ψ ~ ⟩   =   ( | ψ ⟩ ⟨ φ | ) ⋅ | ψ ~ ⟩ {displaystyle |psi angle cdot langle varphi |{ ilde {psi }} angle = (|psi angle langle varphi |)cdot |{ ilde {psi }} angle }

и т. д.

Бра-Кет Обозначение

Также называется записью Дирака.

Bra-Ket — это способ записи специальных векторов, используемый в квантовой физике, который выглядит следующим образом:

скоба|комплект

Вот вектор в 3-х измерениях:

Мы можем записать это как вектор-столбец следующим образом:

Или мы можем написать это как «кет»:

Но кеты особенные:

• Значения (a, b и c выше) являются комплексными числами (они могут быть действительными числами, мнимыми числами или их комбинацией)
• Кет — это квантовое состояние
• Кеты могут иметь любое количество измерений, включая бесконечное количество измерений!

«Бюстгальтер» подобен, но значения находятся в строке , и каждый элемент является комплексно-сопряженным элементом кет.

Пример: этот кет:

a =

2–3i

6+4i

3 — I

Имеет этот BRA:

A =

2+3i

6-4i

3+I

Значения теперь в ряд, и мы тоже изменил знак (+ на — и — на +) в середине каждого элемента.

На «матричном языке» превращение кеты в бюстгальтер (или лифчика в кет) — это «сопряженное транспонирование»:

• сопряжение: 2−3i становится 2+3i и т. д…
• транспонирование: строки меняются местами со столбцами

Подробнее читайте в разделе Типы матриц.

Умножение

Умножение бюстгальтера a и ket b выглядит так:

а|б

Мы используем умножение матриц, в частности скалярное произведение:

«Скалярный продукт» — это когда мы умножаем совпадающие элементы на , затем суммируем:

= 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58

Мы сопоставляем 1-е элементы (1 и 7), умножаем их , аналогично для
2-й член (2 и 9) и 3-й член (3 и 11), и, наконец, сумма
их вверх.

По сути, скалярное произведение «проецирует» один вектор на другой до умножения длин:

Когда два вектора расположены под прямым углом, скалярное произведение равно нулю:

Тень не отбрасывается!

Пример:

a =

и b =

Таким образом:

a|b =

= 1×0 + 0×1 = 0

Это может быть простой проверкой, является ли вектор ортогональный (более общее понятие «под прямым углом»)

Скалярное произведение вектора на равно произведению длины вектора на длину вектора. Другими словами, это длина ² :

Отбрасывается полная тень!

Пример:

Таким образом:

c|c =

= 2×2 + 1×1 = 5

Скалярное произведение равно 5

И мы также можем вычислить длину c как √5

Пример: Какова длина вектора [1, 2, −2, 5]?

= 1×1 + 2×2 + (−2)×(−2) + 5×5

= 1 + 4 + 4 + 25

= 34

Скалярное произведение равно 34, поэтому длина вектора равно √34

Примечание: мы также можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины: 34

Основание

Мы можем разделить части вектора следующим образом:

г =

= а

+ б

+ с

Векторы «1, 0, 0», «0, 1, 0» и «0, 0, 1» образуют базис : векторы, которые мы
мерить вещи против.

В данном случае это простые единичные векторы, но
можно использовать любой набор векторов, если они независимы друг от друга (этого можно добиться, находясь под прямым углом) и могут вместе охватывать каждую часть пространства.

Matrix Rank содержит более подробную информацию о линейной зависимости, интервале и многом другом.

Ортонормированный базис

В большинстве случаев нам нужен ортонормированный базис , который равен:

• Ортогональный : каждый базисный вектор находится под прямым углом ко всем остальным.
  Мы можем проверить это, убедившись, что любая пара базисных векторов имеет скалярное произведение a·b = 0
• Нормализованный : каждый базисный вектор имеет длину 1

Наш простой пример из приведенного выше работает хорошо:

Векторы под прямым углом,
и каждый вектор имеет длину 1

И вот этот тоже работает:

Давайте проверим!

Скалярный продукт равен нулю?

a·b = 1 √2 × 1 √2 + 1 √2 × −1 √ 0

= 1 2 − 1 2 = 0

Каждая длина равна 1?

|а| = ( 1 √2 ) ² + ( 1 √2 ) ² = 1 2 + 1 2 = 1

|б| = ( 1 √2 ) ² + ( −1 √2 ) ² = 1 2 + 1 2 = 1

Так что да, — это ортонормированный базис!

Кот Шрёдингера

Известный пример — «Кот Шредингера»: мысленный эксперимент, в котором кот находится в коробке с контейнером с газом, запускаемым квантовым способом. Есть равные шансы, что он жив или мертв (пока мы не откроем коробку).

Может быть
написано так:

кот = 1 √2 жив + 1 √2 мертв

В нем говорится, что состояние кота находится в суперпозиции двух состояний «живой» и «мертвый».

Но почему 1 √2 ?

Сначала давайте проиллюстрируем это так:

Базис — это два вектора живой и мертвый . Кошка изображена в этом вероятностном пространстве в виде вектора с равными компонентами a и d.

Теперь нормализуем!

Нормализованный

Нормализованный вектор имеет длину 1.

Мы знаем, что скалярное произведение вектора с самим собой равно длине ² , поэтому нормализованный вектор имеет:

a|a = 1 ² = 1

Пример: нормализация вектора кошки

 Если мы предположим, что a = d = 1, мы получим следующее:

кошка|кошка =

= 1×1 + 1×1 = 2

Но должно быть 1 , верно?

Let us try 1 √2 :

cat|cat =

1 √2

1 √2

1 √2

1 √2

= 1 2 + 1 2 = 1

So a = d = 1 √2 , and we get:

cat = 1 √2 живых + 1 √2 мертвых

И теперь он имеет длину 1

Вероятность

Попробуем найти вероятность, сложив длины компонентов a и d:

Вероятность = 1 √2 + 1 √2
= 2 √2
= √2 ???

Но этого не может быть, вероятность не может быть больше 1

На самом деле нам нужно взять величин каждого вектора (показанного с помощью ||) и квадрат это:

Вероятность = | 1 √2 | ² + | 1 √2 | ²
    = 1 2 + 1 2
= 1 (ура!)

Это общее правило квантовой физики:

Вероятность равна квадрату амплитуды, другими словами:

Вероятность = |Амплитуда| ²

|| означает величину вектора, а не абсолютное значение.

Именование кетов

Обратите внимание, что мы можем свободно использовать любое слово или символ внутри кет. В некоторых случаях также используются числа, но они используются в качестве меток, поэтому не пытайтесь выполнять с ними арифметические действия.

Много измерений

Мы можем легко иметь много измерений.

Представьте себе «Квантовые кости», которые находятся в суперпозиции 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Комплект выглядит так:

штамп =

а

б

в

г

д

е

Для честной кости все элементы (a, b, c, d, e, f) равны, но ваши костей могут быть загружены!

Почему?

Зачем мы все это делаем?

Таким образом, мы можем «отобразить» некоторые реальные случаи (обычно с вероятностями).
на четко определенной математической основе. Затем это дает нам возможность
использовать все математические инструменты, чтобы изучить его.

Заключение

Обозначение скобки — это простой способ обратиться к вектору с
сложные элементы, любое количество измерений, которое представляет один
состояние в пространстве состояний. Вероятность любого состояния равна квадрату величины его вектора.

Обозначение скобы

Обозначение скобы

Далее: Операторы проекции
Вверх: Фундаменты
Предыдущий: Расширение с точки зрения дельты

(Читайте стр. 109-144)
Обозначения Дирака Бра-Кета являются краткими и удобными.
способ описания квантовых состояний. Введем и определим символ

представлять квантовое состояние. Это называется кет или кет-вектор.
Это абстрактная сущность, которая служит для описания
«состояние» квантовой системы. Мы говорим, что физическое
система находится в квантовом состоянии,
куда
представляет собой
некоторая физическая величина, такая как импульс, вращение и т. д., когда представлена
по кет

.

Если у нас есть два различных квантовых состояния

и

,
затем следующий кет

где c _i — комплексное число, также возможное состояние
для системы.

В общем случае число линейных независимых кетов
требуется для выражения любого другого кет, называется размерностью
векторного пространства. В квантовой механике векторное пространство
кетов обычно несчетно бесконечно. Назовем такой вектор
пространство гильбертово пространство. Мы предполагаем, что любое физическое состояние может быть
описывается кетом в гильбертовом пространстве.

Дирак определил то, что называется вектором бюстгальтера, обозначенным
.
Это не кет и не принадлежит кет-пространству.
например

не имеет значения. Однако мы предполагаем
за каждый кет,
существует бюстгальтер с надписью .
Бюстгальтер
считается двойником кет
.
Мы можем задать вопрос: поскольку

это кет, что
связан ли с этим вектором двойной (или вектор бюстгальтера)?

Ответ,

куда

означает двойственное соответствие.
Это антилинейное соотношение.

Дирак позволил лифчикам и кетам снова выстроиться в линию.
назад, т.е.

Символ

представляет собой комплекс
число, равное значению
внутренний продукт кет
с .
Заметим, согласно приведенному выше определению, что,

Дирак также определил нечто, называемое внешним
товар,

Внешнее изделие допускается стоять рядом с кетом на его
слева или рядом с бюстгальтером справа от бюстгальтера. Давайте
определять

,
то если
является произвольным
кет, можно построить

Кажется, у нас есть что-то
как внутренний продукт в правой части этого уравнения. Верно,
согласно с
ассоциативная аксиома умножения , нам разрешено
поставить скобки вокруг количества

и приравняем его к стоимости внутреннего продукта

.
Или же

Внешний продукт X является оператором
в гильбертовом пространстве. Действует на кет
слева
и превращает его в другой кет.
Будь осторожен!
за

однако не имеет значения.

Если мы возьмем оператора A и воздействуем на кет

,
является

двойственный к нему? Однако в целом это не так
двойник

является

(1. 33)

куда
называется эрмитовым сопряжением
оператора A . Покажите, что эрмитово сопряженное
из

является

.

Иногда

,
то А называется эрмитовым
оператор. Эрмитовы операторы играют центральную роль в квантовых вычислениях.
теория.
Покажи это

,
куда

является действительным числом, является эрмитовым.

Рассмотрим эрмитов оператор X , собственные состояния которого | a > подчиняются уравнению собственных значений

где a — собственное значение. Предположим, что эти собственные значения равны
различны, затем установите

находятся
взаимно ортонормированы и образуют набор базисных кетов в
гильбертово пространство при условии, что

(1.