Обозначения Дирака. Бра кет

1. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кеме-

ровский государственный университет»

Кафедра теоретической физики

Математический аппарат квантовой теории

Учебно-методическоепособие

Составитель: доцент кафедры теоретической физики КемГУ, М.Л. Золотарев

2

Оглавление

4

ВВЕДЕНИЕ

Математический аппарат квантовой теории необходим не только для описания различных количественных соотношений внутри теории, но и для точной формулировки самих основных принципов этой теории. При изложении квантовой физики в учебниках обычно используют один из двух методов. Наиболее распространен метод координат или метод представлений, который оперирует с системой чисел, соответствующих фундаментальным величинам теории (волновая квантовая механика Шредингера, матричная квантовая механика Гейзенберга). Преимущество такого изложения заключается в том, что требуемые разделы математики более привычны, такой метод более приспособлен для практических расчетов. Кроме того, именно таким путем шло историческое развитие квантовой физики. Другой метод – символический, непосредственно оперирующий в абстрактной форме с указанными фундаментальными величинами. Он позволяет глубже понять природу явлений, выразить физические законы в ясной и сжатой форме. Но реализация этого метода требует более сложной математики.

Цель данного пособия – познакомить с математическим языком символьного метода, привить некоторые навыки владения им, показать органическую связь с методом координат. Данное пособие впервую очередь предназначено студентам-физикам,впервые знакомящимся с квантовой теорией, поэтому мы не стремились к полной математической строгости. Мы опускали совершенно необходимые для математиков вопросы фактического (а не формального) существования и сходимости обсуждаемых выражений и конструкций (например, формальное использованиеδ - функции Дирака). Мы также сознательно пошли на упрощение некоторых используемых конструкций (понятие гильбертова пространства, дуальных пространств, спектра оператора и т.п.), чтобы провести ясную аналогию между гильбертовым пространствомкет-векторови хорошо знакомым пространством обычных трехмерных векторов.

Данное пособие является незначительной переработкой аналогичных методических указаний, выпущенных автором в 90-хгодах прошлого века [2]. Оно состоит из шести глав, где сначала мы вводим понятие кет- ибра-векторов,понятие гильбертова пространства и его расширения. Определяем операторы в этом пространстве и рассматриваем алгебру операторов. Более подробно останавливаемся на важных для квантовой теории классах операторов. Наряду с абстрактными понятиями, везде рассматриваются и конкретные представления. Далее излагается проблема собственных значений и собственных векторов линейных операторов, более подробно разбирается теория представлений, вводятся и рассматриваются понятия функционала иоператорно-числовогофункционала. Каждая глава пособия содержит упражнения с решением типичных задач. В конце пособия собраны приложения с общими сведениями из теории специальных функций.

5

§1. Векторные свойства функций. Понятие кет- и бра-векторов.

Рассмотрим множество однозначных непрерывных комплексных функций от действительных переменных Ψa(x). Функции будем различать символом "a", который назовеминдексом функции. Символx будет обозначать совокупность действительных переменных и его назовеминдексом представления. Для простоты мы будем часто понимать подx одну обычную координату, изменяющуюся в пределах (−∞;+∞) , хотя всю теорию легко обобщить на случай нескольких пере-

менных и переменных другого смысла.

Множество функций одних и тех же аргументов x обладает рядом свойств, аналогичных свойствам обычных трехмерных векторов. Различные функцииΨa,Ψb,Ψk, как и векторыa,b можно складывать друг с другом, причем:

Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

Таким образом, как и векторы, множество функций одинакового аргумента образуют линейное векторное пространство, а сами функции являются "векторами" этого пространства, независимо от конкретного смысла их аргументов. Для того чтобы явно выделить векторные свойства функций, Дирак предложил использовать скобочный символ и специальное название – кетвектор. Обозначение внутри скобочного символа указывает на определенныйкет-вектор.Напри-

мер, кет-вектор,который соответствует функции с индексомa (Ψa(x)) , записывается в видеa .

Численно, обычный вектор можно задать через его координаты, которые удобно записывать упорядоченными в виде столбца. Например, в декартовой системе координат

Аналогично, кет-векторa , соответствующий функцииΨa(x), можно представить в виде бесконечного столбца из значений функции в каждой "точке"x:

6

т.е. роль координат кет-вектораa играют все значения функцииΨa(x).

Наряду с данным линейным пространством кет-векторовможно ввести так называемое "дуальное" пространство, которое получается, если каждомукет-векторуa сопоставить, как го-

ворят, сопряженный ему вектор, который обозначим символом a и назовембра-вектором.Бра-

вектор получается из кет-вектораоперацией эрмитова сопряжения, т.е. транспонированием и комплексным сопряжением:

бра-векторыимеют различную природу. Они принадлежат разным пространствам – столбцов и строк, поэтому их нельзя смешивать, в частности, складывать. Очевидно, соответствие между кет-

Заметим, что введенные Дираком названия бра- и кетсоответствует двум частям английского слова braсket (скобки): < бра | кет >.

§2. Скалярное произведение и его свойства. Норма кет-вектора.

Любым двум кет-векторамa иb можно сопоставить комплексное число, которое назовемскалярным произведением и обозначимa b . По аналогии с трехмерными векторами, для которых скалярное произведение выражается через координаты как

т.е. заменим в определении обычного произведения непрерывной строки на непрерывной строки на непрерывный столбец, суммирование интегрированием по всей области изменения аргумента.

Из определения скалярного произведения (1.6) вытекают следующие его свойства. 1. Положительность скалярного квадрата

причем равенство нулю возможно лишь при Ψа(x) = 0 илиa = 0. 2. Условие взаимности (симметрии)

7

3. Линейность:

Если b = c1 d +c2 f , гдес1 ис2 – комплексные числа, то

Два кет-вектораa иb , или соответствующие им функции называютсяортогональными, если их скалярное произведение равно нулю

Очевидно, что норма является обобщением понятия длины обычных векторов.

Кет-векторa (или соответствующая функцияΨа(x)) называетсянормированным (на еди-

Норма может быть конечной или бесконечной. Если квадрат нормы конечен

то функция Ψа(x) называется суммируемой в квадрате. Такие функции всегда можно нормировать на единицу, т.е. ввести новыйкет-вектор(или функцию)

что ||a'|| = 1.

§3. Гильбертово пространство. Базис.

Множество кет-векторовс конечной нормой (или суммируем в квадрате функций) образует линейное пространство, которое называетсягильбертовым и обозначаетсяL2 (для пространства функций после символаL2 в скобках указывают область изменения аргумента). Сравним выше оп-

ределенное гильбертово пространство кет-векторовa с линейным пространством обычных век-

торов a . Мы говорим, что пространство обычных векторовтрехмерное, потому что в нем можно выбратьтри линейно независимых вектора, образующих базис (например, декартовы орты

i ,j,k ), так что любой вектор однозначно представим в виде их линейной комбинации (1.1). В выбранном базисе любой векторa задается тремя числами – координатами, которые записываются в видетрехмерного столбца (1.1).Кет-векторa задается в видебесконечного столбца (1.2), при-

чем роль координат играет бесконечное число значений определяющей функции Ψа(x) во всех точках области изменения аргументаx. Проводя аналогию с пространством обычных векторов, видим, что пространствокет-векторовбесконечномерное. Но бесконечные множества бывают двух типов:счетные – соответствующие множеству целых чисел иконтинуальные – соответствующие множеству всех действительных чисел или точек прямой. Если на значения функции не

накладываются никакие ограничения, то пространство кет-векторовa будет континуальным:

8

число "координат" Ψа(x)кет-вектораa будет совпадать с "числом" различных значений аргумен-

та x. Если же на значения функций накладываются дополнительные условия, то, "координат" кетвектора, т.е. "независимых" значений функции Ψа(x) будет "меньше", чем значений аргументаx и размерность пространствакет-векторовбудет счетной. Условие (1.13) принадлежности к гильбертову пространствуL2 как раз и накладывает дополнительные условия на значения функций Ψа(x) (§1), поэтому размерность гильбертова пространства будет счетной, т.е. в нем можно выбрать счетное множествокет-векторов,образующих базис.

Рассмотрим вопрос о базисе в гильбертовом пространстве более подробно. Пронумеруем каким-либообразомкет-векторыизL2. Тогда выражение вида∑Cn n (или соответствующее

n

∑CnΨn (x) ), гдеCn – комплексные числа, называетсялинейной комбинацией кет-векторов(или

n

функций Ψn(x)). Этикет-векторы(функции) называютсялинейно-независимыми,если из равенства

следует, что Сn= 0 для всехn. В противном случаекет-векторы(функции) называютсялинейно-

зависимыми.

Базисом гильбертова пространства L2 называется счетное множество линейно независимых

векторов n (функций Ψn(x)) таких, чтолюбой кет-векторa пространства (каждая функция Ψа(x))однозначно представляется в виде их линейной комбинации:

где числа Cna – коэффициенты разложения, зависящие от индексов функции разлагаемого и базис-

ных векторов.

Базис называется ортонормированным, если

Коэффициенты разложения по ортонормированному базису находятся по кет-векторамa иn (или соответствующим им функциямΨa (x) иΨn (x) ) особенно просто. Действительно, умножая (1.16) скалярно наn ' и учитывая линейность скалярного произведения (1.9), получаем

studfiles.net

Бра и кет - это... Что такое Бра и кет?

Бра и кет (англ. bra-ket ← bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, вектором из проективного гильбертового пространства элементы (векторы) которого обозначаются как («кет-векторы»).

Каждому кет-вектору ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к то есть из

Бра-вектор из пространства определяется соотношением:

, для любого кет-вектора

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису или

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки

Линейные операторы

Если A : H → H — линейный оператор из H в H, то действие оператора A на кет-вектор записывается как

Для каждого оператора A и бра-вектора вводится функционал из пространства то есть бра-вектор, умноженный на оператор A, который определяется равенством:

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто

Это выражение называется свёрткой оператора А с бра-вектором и кет-вектором Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — Akl) записывается в обозначениях Дирака как а среднее значение наблюдаемой на состоянии  — как

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева кет-вектор — скобку справа Вводится также произведение в «неестественном» порядке — (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор имеет ранг 1 и является тензорным произведением и Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в 

Имеет место ассоциативность:

и т. д.

Интересные факты

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.

dic.academic.ru

Обозначения Дирака - это... Что такое Обозначения Дирака?

Бра и кет (англ. bra-ket ← bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний.

Определение и использование

Квантовая система рассматривается в гильбертовом пространстве , элементы (векторы) которого обозначаются как «кет-векторы». Сопряжённое пространство , элементы которого обозначаются как «бра-векторы», совпадает с с точностью до комплексного сопряжения. Это означает, что каждому кет-вектору можно сопоставить бра-вектор , и обратно.

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором записывается в виде ; две вертикальные черты «сливаются». Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: . На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки .

Свёртка оператора А с бра-вектором и кет-вектором записывается как ; это также скаляр (комплексное число). В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — Akl) записывается в обозначениях Дирака как , а среднее значение наблюдаемой на состоянии ψ — как .

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в алгебре:

Например, уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «полуторалинейного» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако, математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной. С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице. Также, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния ψ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как ek, в бра-кет-обозначениях указывается только индекс базисного элемента: . Этим они похожи на тензорные обозначения, но в отличие от последних позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками». Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически, ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа  〈 … 〉  всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку  〈  слева, кет-вектор — скобку  〉  справа. Произведение в «неестественном» порядке —  〉 〈  — даёт так называемый кет-бра-оператор — оператор ранга 1, являющийся тензорным произведением и . Они часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в .

Имеет место ассоциативность:

и т.д.

Интересные факты

• На семинаре в Институте физических проблем во время выступления Дирака, Ландау переводил термины "бра" и "кет" как "ско" и "бка".

Литература

• Ю. М. Белоусов. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. Москва. 2006.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Бра и кет — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства <math>\mathcal{H},</math> элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом <math>|\psi\rangle</math>.

Каждому кет-вектору <math>|\psi\rangle</math> ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к <math>\mathcal{H},</math> то есть из <math>\mathcal{H}^*.</math>

Бра-вектор <math>\langle \psi |</math> из пространства <math>\mathcal{H}^*</math> определяется соотношением:

<math>\langle\psi|\colon \mathcal H \to \mathbb{C}\colon \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \left( |\psi\rangle,\; |\rho\rangle \right)</math>, для любого кет-вектора <math>|\rho\rangle.</math>

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису <math>\mathcal{H}^*</math> или <math>\mathcal{H}.</math>

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде <math>\langle \varphi \mid\psi\rangle;</math> две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: <math>\langle \psi \mid\psi\rangle \geqslant 0.</math> На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки <math>\langle \psi \mid\psi\rangle = 1.</math>

Линейные операторы

Если <math>A\colon H\to H</math> — линейный оператор из <math>H</math> в <math>H</math>, то действие оператора <math>A</math> на кет-вектор <math>|\psi\rangle</math> записывается как <math>A|\psi\rangle.</math>

Для каждого оператора <math>A</math> и бра-вектора <math>\langle\varphi|</math> вводится функционал <math>(\langle\varphi|A)</math> из пространства <math>\mathcal{H}^*,</math> то есть бра-вектор, умноженный на оператор <math>A</math>, который определяется равенством:

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто <math>\langle\varphi\mid A\mid\psi\rangle.</math>

Это выражение называется свёрткой оператора <math>A</math> с бра-вектором <math>\langle \varphi |</math> и кет-вектором <math>|\psi\rangle.</math> Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора <math>A</math> в определённом базисе (в тензорных обозначениях — <math>A_{kl}</math>) записывается в обозначениях Дирака как <math>\langle k\mid A\mid l\rangle,</math> а среднее значение наблюдаемой на состоянии <math>\psi</math> — как <math>\langle\psi\mid A\mid\psi\rangle.</math>

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения <math>\langle\varphi,\;\psi\rangle</math> в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору <math>i|\psi\rangle</math> будет являться бра-вектор <math>-i \langle \psi |</math> (где <math>i</math> — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния <math>\psi</math> (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как <math>e_k,</math> в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: <math>\langle k|\;,\;|l\rangle.</math> Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, <math>\mathcal{H}=R^n,</math> то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера <math>N\times 1</math>, бра-векторы — размера <math>1\times N</math>, операторы — размера <math>N\times N</math>, где <math>N</math> — количество состояний квантовой системы (размерность пространства <math>\mathcal{H}</math>). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа <math>\langle \ldots \rangle</math> всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева <math>\langle,</math> кет-вектор — скобку справа <math>\rangle.</math> Вводится также произведение в «неестественном» порядке — <math>| \varphi\rangle \langle \psi | </math> (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор <math>|\psi\rangle \langle \varphi|</math> имеет ранг 1 и является тензорным произведением <math>|\psi\rangle</math> и <math>\langle \varphi|.</math> Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор <math>|\psi\rangle \langle \psi|</math> (при нормировке <math>\langle \psi \mid\psi\rangle = 1</math>) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в <math>\mathcal{H}.</math>

Имеет место ассоциативность:

и т. д.

Интересные факты

Напишите отзыв о статье "Бра и кет"

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.

Отрывок, характеризующий Бра и кет

Когда княжна Марья взошла в комнату, князь Василий с сыном уже были в гостиной, разговаривая с маленькой княгиней и m lle Bourienne. Когда она вошла своей тяжелой походкой, ступая на пятки, мужчины и m lle Bourienne приподнялись, и маленькая княгиня, указывая на нее мужчинам, сказала: Voila Marie! [Вот Мари!] Княжна Марья видела всех и подробно видела. Она видела лицо князя Василья, на мгновенье серьезно остановившееся при виде княжны и тотчас же улыбнувшееся, и лицо маленькой княгини, читавшей с любопытством на лицах гостей впечатление, которое произведет на них Marie. Она видела и m lle Bourienne с ее лентой и красивым лицом и оживленным, как никогда, взглядом, устремленным на него; но она не могла видеть его, она видела только что то большое, яркое и прекрасное, подвинувшееся к ней, когда она вошла в комнату. Сначала к ней подошел князь Василий, и она поцеловала плешивую голову, наклонившуюся над ее рукою, и отвечала на его слова, что она, напротив, очень хорошо помнит его. Потом к ней подошел Анатоль. Она всё еще не видала его. Она только почувствовала нежную руку, твердо взявшую ее, и чуть дотронулась до белого лба, над которым были припомажены прекрасные русые волосы. Когда она взглянула на него, красота его поразила ее. Анатопь, заложив большой палец правой руки за застегнутую пуговицу мундира, с выгнутой вперед грудью, а назад – спиною, покачивая одной отставленной ногой и слегка склонив голову, молча, весело глядел на княжну, видимо совершенно о ней не думая. Анатоль был не находчив, не быстр и не красноречив в разговорах, но у него зато была драгоценная для света способность спокойствия и ничем не изменяемая уверенность. Замолчи при первом знакомстве несамоуверенный человек и выкажи сознание неприличности этого молчания и желание найти что нибудь, и будет нехорошо; но Анатоль молчал, покачивал ногой, весело наблюдая прическу княжны. Видно было, что он так спокойно мог молчать очень долго. «Ежели кому неловко это молчание, так разговаривайте, а мне не хочется», как будто говорил его вид. Кроме того в обращении с женщинами у Анатоля была та манера, которая более всего внушает в женщинах любопытство, страх и даже любовь, – манера презрительного сознания своего превосходства. Как будто он говорил им своим видом: «Знаю вас, знаю, да что с вами возиться? А уж вы бы рады!» Может быть, что он этого не думал, встречаясь с женщинами (и даже вероятно, что нет, потому что он вообще мало думал), но такой у него был вид и такая манера. Княжна почувствовала это и, как будто желая ему показать, что она и не смеет думать об том, чтобы занять его, обратилась к старому князю. Разговор шел общий и оживленный, благодаря голоску и губке с усиками, поднимавшейся над белыми зубами маленькой княгини. Она встретила князя Василья с тем приемом шуточки, который часто употребляется болтливо веселыми людьми и который состоит в том, что между человеком, с которым так обращаются, и собой предполагают какие то давно установившиеся шуточки и веселые, отчасти не всем известные, забавные воспоминания, тогда как никаких таких воспоминаний нет, как их и не было между маленькой княгиней и князем Васильем. Князь Василий охотно поддался этому тону; маленькая княгиня вовлекла в это воспоминание никогда не бывших смешных происшествий и Анатоля, которого она почти не знала. M lle Bourienne тоже разделяла эти общие воспоминания, и даже княжна Марья с удовольствием почувствовала и себя втянутою в это веселое воспоминание. – Вот, по крайней мере, мы вами теперь вполне воспользуемся, милый князь, – говорила маленькая княгиня, разумеется по французски, князю Василью, – это не так, как на наших вечерах у Annette, где вы всегда убежите; помните cette chere Annette? [милую Аннет?]

wiki-org.ru

бра - это... Что такое Кет-бра?

Бра и кет (англ. bra-ket ← bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний.

Определение и использование

Квантовая система рассматривается в гильбертовом пространстве , элементы (векторы) которого обозначаются как «кет-векторы». Сопряжённое пространство , элементы которого обозначаются как «бра-векторы», совпадает с с точностью до комплексного сопряжения. Это означает, что каждому кет-вектору можно сопоставить бра-вектор , и обратно.

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором записывается в виде ; две вертикальные черты «сливаются». Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: . На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки .

Свёртка оператора А с бра-вектором и кет-вектором записывается как ; это также скаляр (комплексное число). В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — Akl) записывается в обозначениях Дирака как , а среднее значение наблюдаемой на состоянии ψ — как .

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в алгебре:

Например, уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «полуторалинейного» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако, математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной. С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице. Также, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния ψ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как ek, в бра-кет-обозначениях указывается только индекс базисного элемента: . Этим они похожи на тензорные обозначения, но в отличие от последних позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками». Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически, ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа  〈 … 〉  всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку  〈  слева, кет-вектор — скобку  〉  справа. Произведение в «неестественном» порядке —  〉 〈  — даёт так называемый кет-бра-оператор — оператор ранга 1, являющийся тензорным произведением и . Они часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в .

Имеет место ассоциативность:

и т.д.

Интересные факты

• На семинаре в Институте физических проблем во время выступления Дирака, Ландау переводил термины "бра" и "кет" как "ско" и "бка".

Литература

• Ю. М. Белоусов. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. Москва. 2006.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

кет - это... Что такое Бра-кет?

Бра и кет (англ. bra-ket ← bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний.

Определение и использование

Квантовая система рассматривается в гильбертовом пространстве , элементы (векторы) которого обозначаются как «кет-векторы». Сопряжённое пространство , элементы которого обозначаются как «бра-векторы», совпадает с с точностью до комплексного сопряжения. Это означает, что каждому кет-вектору можно сопоставить бра-вектор , и обратно.

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором записывается в виде ; две вертикальные черты «сливаются». Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: . На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки .

Свёртка оператора А с бра-вектором и кет-вектором записывается как ; это также скаляр (комплексное число). В частности, матричный элемент оператора А в определённом базисе (в тензорных обозначениях — Akl) записывается в обозначениях Дирака как , а среднее значение наблюдаемой на состоянии ψ — как .

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в алгебре:

Например, уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «полуторалинейного» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако, математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной. С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где i — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице. Также, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния ψ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как ek, в бра-кет-обозначениях указывается только индекс базисного элемента: . Этим они похожи на тензорные обозначения, но в отличие от последних позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками». Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера N×1, бра-векторы — размера 1×N, операторы — размера N×N, где N — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1×1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически, ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа  〈 … 〉  всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку  〈  слева, кет-вектор — скобку  〉  справа. Произведение в «неестественном» порядке —  〉 〈  — даёт так называемый кет-бра-оператор — оператор ранга 1, являющийся тензорным произведением и . Они часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в .

Имеет место ассоциативность:

и т.д.

Интересные факты

• На семинаре в Институте физических проблем во время выступления Дирака, Ландау переводил термины "бра" и "кет" как "ско" и "бка".

Литература

• Ю. М. Белоусов. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. Москва. 2006.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Бра и кет — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}, элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\psi\rangle .

Каждому кет-вектору Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\psi\rangle ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}, то есть из Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}^*.

Бра-вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \psi | из пространства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}^* определяется соотношением:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle\psi|\colon \mathcal H \to \mathbb{C}\colon \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \left( |\psi\rangle,\; |\rho\rangle \right) , для любого кет-вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\rho\rangle.

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}^* или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}.

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \varphi \mid\psi\rangle; две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \psi \mid\psi\rangle \geqslant 0. На вектора, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \psi \mid\psi\rangle = 1.

Линейные операторы

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A\colon H\to H  — линейный оператор из Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): H в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): H , то действие оператора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A на кет-вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\psi\rangle записывается как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A|\psi\rangle.

Для каждого оператора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A и бра-вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle\varphi| вводится функционал Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): (\langle\varphi|A) из пространства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}^*, то есть бра-вектор, умноженный на оператор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A , который определяется равенством:

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle\varphi\mid A\mid\psi\rangle.

Это выражение называется свёрткой оператора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A с бра-вектором Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \varphi | и кет-вектором Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\psi\rangle. Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A в определённом базисе (в тензорных обозначениях — Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): A_{kl} ) записывается в обозначениях Дирака как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle k\mid A\mid l\rangle, а среднее значение наблюдаемой на состоянии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \psi  — как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle\psi\mid A\mid\psi\rangle.

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle\varphi,\;\psi\rangle в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): i|\psi\rangle будет являться бра-вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): -i \langle \psi | (где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): i  — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \psi (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): e_k, в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle k|\;,\;|l\rangle. Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}=R^n, то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): N\times 1 , бра-векторы — размера Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 1\times N , операторы — размера Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): N\times N , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): N  — количество состояний квантовой системы (размерность пространства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H} ). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

Запись типа Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \ldots \rangle всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle, кет-вектор — скобку справа Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \rangle. Вводится также произведение в «неестественном» порядке — Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): | \varphi\rangle \langle \psi | (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\psi\rangle \langle \varphi| имеет ранг 1 и является тензорным произведением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\psi\rangle и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \varphi|. Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |\psi\rangle \langle \psi| (при нормировке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \langle \psi \mid\psi\rangle = 1 ) является проектором на состояние ψ, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathcal{H}.

Имеет место ассоциативность:

и т. д.

Интересные факты

Напишите отзыв о статье "Бра и кет"

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.

Отрывок, характеризующий Бра и кет

Потом опять появился Аксель. Только на этот раз он стоял у окна в какой-то очень красивой, богато обставленной комнате. А рядом с ним стояла та же самая «подруга его детства» Маргарита, которую мы видели с ним в самом начале. Только на этот раз вся её заносчивая холодность куда-то испарилась, а красивое лицо буквально дышало участием и болью. Аксель был смертельно бледным и, прижавшись лбом к оконному стеклу, с ужасом наблюдал за чем-то происходящим на улице... Он слышал шумевшую за окном толпу, и в ужасающем трансе громко повторял одни и те же слова: – Душа моя, я так и не спас тебя... Прости меня, бедная моя... Помоги ей, дай ей сил вынести это, Господи!.. – Аксель, пожалуйста!.. Вы должны взять себя в руки ради неё. Ну, пожалуйста, будьте благоразумны! – с участием уговаривала его старая подруга. – Благоразумие? О каком благоразумии вы говорите, Маргарита, когда весь мир сошёл с ума?!.. – закричал Аксель. – За что же её? За что?.. Что же такого она им сделала?!. Маргарита развернула какой-то маленький листик бумаги и, видимо, не зная, как его успокоить, произнесла: – Успокойтесь, милый Аксель, вот послушайте лучше: – «Я люблю вас, мой друг... Не беспокойтесь за меня. Мне не достаёт лишь ваших писем. Возможно, нам не суждено свидеться вновь... Прощайте, самый любимый и самый любящий из людей...». Это было последнее письмо королевы, которое Аксель прочитывал тысячи раз, но из чужих уст оно звучало почему-то ещё больнее... – Что это? Что же там такое происходит? – не выдержала я. – Это красивая королева умирает... Её сейчас казнят. – Грустно ответила Стелла. – А почему мы не видим? – опять спросила я. – О, ты не хочешь на это смотреть, верь мне. – Покачала головкой малышка. – Так жаль, она такая несчастная... Как же это несправедливо. – Я бы всё-таки хотела увидеть... – попросила я. – Ну, смотри... – грустно кивнула Стелла. На огромной площади, битком набитой «взвинченным» народом, посередине зловеще возвышался эшафот... По маленьким, кривым ступенькам на него гордо поднималась смертельно бледная, очень худая и измученная, одетая в белое, женщина. Её коротко остриженные светлые волосы почти полностью скрывал скромный белый чепчик, а в усталых, покрасневших от слёз или бессонницы глазах отражалась глубокая беспросветная печаль...

Чуть покачиваясь, так как, из-за туго завязанных за спиной рук, ей было сложно держать равновесие, женщина кое-как поднялась на помост, всё ещё, из последних сил пытаясь держаться прямо и гордо. Она стояла и смотрела в толпу, не опуская глаз и не показывая, как же по-настоящему ей было до ужаса страшно... И не было никого вокруг, чей дружеский взгляд мог бы согреть последние минуты её жизни... Никого, кто своим теплом мог бы помочь ей выстоять этот ужасающий миг, когда её жизнь должна была таким жестоким путём покинуть её... До этого бушевавшая, возбуждённая толпа вдруг неожиданно смолкла, как будто налетела на непреодолимое препятствие... Стоявшие в передних рядах женщины молча плакали. Худенькая фигурка на эшафоте подошла к плахе и чуть споткнувшись, больно упала на колени. На несколько коротких секунд она подняла к небу своё измученное, но уже умиротворённое близостью смерти лицо... глубоко вздохнула... и гордо посмотрев на палача, положила свою уставшую голову на плаху. Плачь становился громче, женщины закрывали детям глаза. Палач подошёл к гильотине.... – Господи! Нет!!! – душераздирающе закричал Аксель. В тот же самый миг, в сером небе из-за туч вдруг выглянуло солнышко, будто освещая последний путь несчастной жертвы... Оно нежно коснулось её бледной, страшно исхудавшей щеки, как бы ласково говоря последнее земное «прости». На эшафоте ярко блеснуло – тяжёлый нож упал, разбрасывая яркие алые брызги... Толпа ахнула. Белокурая головка упала в корзину, всё было кончено... Красавица королева ушла туда, где не было больше боли, не было издевательств... Был только покой...

Вокруг стояла смертельная тишина. Больше не на что было смотреть... Так умерла нежная и добрая королева, до самой последней минуты сумевшая стоять с гордо поднятой головой, которую потом так просто и безжалостно снёс тяжёлый нож кровавой гильотины... Бледный, застывший, как мертвец, Аксель смотрел невидящими глазами в окно и, казалось, жизнь вытекала из него капля за каплей, мучительно медленно... Унося его душу далеко-далеко, чтобы там, в свете и тишине, навечно слиться с той, которую он так сильно и беззаветно любил... – Бедная моя... Душа моя... Как же я не умер вместе с тобой?.. Всё теперь кончено для меня... – всё ещё стоя у окна, помертвевшими губами шептал Аксель. Но «кончено» для него всё будет намного позже, через каких-нибудь двадцать долгих лет, и конец этот будет, опять же, не менее ужасным, чем у его незабвенной королевы... – Хочешь смотреть дальше? – тихо спросила Стелла. Я лишь кивнула, не в состоянии сказать ни слова. Мы увидели уже другую, разбушевавшуюся, озверевшую толпу людей, а перед ней стоял всё тот же Аксель, только на этот раз действие происходило уже много лет спустя. Он был всё такой же красивый, только уже почти совсем седой, в какой-то великолепной, очень высокозначимой, военной форме, выглядел всё таким же подтянутым и стройным.

И вот, тот же блестящий, умнейший человек стоял перед какими-то полупьяными, озверевшими людьми и, безнадёжно пытаясь их перекричать, пытался что-то им объяснить... Но никто из собравшихся, к сожалению, слушать его не хотел... В бедного Акселя полетели камни, и толпа, гадкой руганью разжигая свою злость, начала нажимать. Он пытался от них отбиться, но его повалили на землю, стали зверски топтать ногами, срывать с него одежду... А какой-то верзила вдруг прыгнул ему на грудь, ломая рёбра, и не задумываясь, легко убил ударом сапога в висок. Обнажённое, изуродованное тело Акселя свалили на обочину дороги, и не нашлось никого, кто в тот момент захотел бы его, уже мёртвого, пожалеть... Вокруг была только довольно хохочущая, пьяная, возбуждённая толпа... которой просто нужно было выплеснуть на кого-то свою накопившуюся животную злость... Чистая, исстрадавшаяся душа Акселя, наконец-то освободившись, улетела, чтобы соединиться с той, которая была его светлой и единственной любовью, и ждала его столько долгих лет... Вот так, опять же, очень жестоко, закончил свою жизнь нам со Стеллой почти незнакомый, но ставший таким близким, человек, по имени Аксель, и... тот же самый маленький мальчик, который, прожив всего каких-то коротеньких пять лет, сумел совершить потрясающий и единственный в своей жизни подвиг, коим мог бы честно гордиться любой, живущий на земле взрослый человек... – Какой ужас!.. – в шоке прошептала я. – За что его так? – Не знаю... – тихо прошептала Стелла. – Люди почему-то были тогда очень злые, даже злее чем звери... Я очень много смотрела, чтобы понять, но не поняла... – покачала головкой малышка. – Они не слушали разум, а просто убивали. И всё красивое зачем-то порушили тоже... – А как же дети Акселя или жена? – опомнившись после потрясения, спросила я. – У него никогда не было жены – он всегда любил только свою королеву, – со слезами на глазах сказала малышка Стелла.

И тут, внезапно, у меня в голове как бы вспыхнула вспышка – я поняла кого мы со Стеллой только что видели и за кого так от души переживали!... Это была французская королева, Мария-Антуанетта, о трагической жизни которой мы очень недавно (и очень коротко!) проходили на уроке истории, и казнь которой наш учитель истории сильно одобрял, считая такой страшный конец очень «правильным и поучительным»... видимо потому, что он у нас в основном по истории преподавал «Коммунизм»... Несмотря на грусть происшедшего, моя душа ликовала! Я просто не могла поверить в свалившееся на меня, неожиданное счастье!.. Ведь я столько времени этого ждала!.. Это был первый раз, когда я наконец-то увидела что-то реальное, что можно было легко проверить, и от такой неожиданности я чуть ли не запищала от охватившего меня щенячьего восторга!.. Конечно же, я так радовалась не потому, что не верила в то, что со мной постоянно происходило. Наоборот – я всегда знала, что всё со мной происходящее – реально. Но видимо мне, как и любому обычному человеку, и в особенности – ребёнку, всё-таки иногда нужно было какое-то, хотя бы простейшее подтверждение того, что я пока что ещё не схожу с ума, и что теперь могу сама себе доказать, что всё, со мной происходящее, не является просто моей больной фантазией или выдумкой, а реальным фактом, описанным или виденным другими людьми. Поэтому-то такое открытие для меня было настоящим праздником!..

o-ili-v.ru

• 
  Кету влияние
• 
  Ооо кета
• 
  Состав кета
• 
  Кета вареная
• 
  Пирог со стерлядью рецепт с фото
• 
  Занесена ли стерлядь в красную книгу
• 
  На что ловить стерлядь в сентябре
• 
  Нужно ли чистить стерлядь от чешуи
• 
  Стерлядь горячего копчения в коптильне рецепт
• 
  Пьяная стерлядь маша трауб читать онлайн
• 
  Маша трауб пьяная стерлядь читать онлайн